1. 前言

花了几个小时复习自控，其中最后看的内容是关于泛函的，做个笔记，谈谈自己对它的理解。

2. 瞎想

看到泛函的定义之后，我的第一反应是 这不就是将二维空间的函数上升了一个维度么。说起来，数学和物理领域很多概念都是在原有基础上进行维度的扩展得到的，不过进一步思考，泛函还可以上升到更高维度，简单的是二维空间内的函数对应一个具体数值，即上升到了三维空间，而如果是三维空间内的函数作为自变量(也就是宗量)，那么泛函就应该上升到四维空间了，如此推论，泛函其实可以定义在无限维空间。

从普通函数的维度扩展上来理解，泛函的很多性质，可以尝试着从原来我们所理解的函数基础上去学习，这样能够简化不少。

3. 定义

维基百科上对泛函的说明: 传统上，泛函（functional）通常是指一种定义域为函数，而值域为实数的”函数”。换句话说，就是从函数组成的一个向量空间到实数的一个映射。也就是说它的输入为函数，而输出为实数。泛函的应用可以追溯到变分法，那里通常需要寻找一个函数用来最小化某个特定泛函。在物理学上，寻找某个能量泛函的最小系统状态是泛函的一个重要应用。在泛函分析中，泛函也用来指一个从任意向量空间到标量域的映射。泛函中的一类特例线性泛函引发了对对偶空间的研究。

4. 应用

上述说到的寻找求取最小系统状态，便是我要学习泛函的原因之一，在控制系统中，给定状态和性能指标，要求计算出最小系统状态、最优控制或极小值等很常见。利用泛函这种工具，辅以欧拉方程、边界条件、横截条件可以比较方便地求出极值轨线，而对于有约束调节的状态，只是构造欧拉函数不同而已。而对于不受控的控制输入，求取最优控制时可以构造Hamilton函数，利用正则方程、边界条件和横截条件以及极值条件可以求解。最后，对于受控的控制输入，或者其控制变量不可微，那么久需要利用极小值原理，进行求解。

5. 无初始状态和末状态的极值轨线的求取

6. 最优控制求取

6.1 控制函数不受约束情况下

6.2 控制函数受约束情况下