数学方法一

1. 前言

Methodology of Mathematics
主要记录了《数学方法论稿》^[1] 的内容

2. 钱学森对于数学的分类

钱学森在《关于思维科学》中用过一张表进行科学的分类(然而这是Kino在数学方法论稿书中看到的):

3. 重大数学方法与哲学范畴

3.1 数学方法·形式与内容

数学的研究对象是形式化的思想材料, 整个数学是一个形式化的思想体系. 数学要形式化, 但是不可局限于形式化, 形式是为内容服务的. 因为形式不能更好的表示内容, 因而很多数学论文中的方法被冷落和扬弃了, 或者被更好的数学形式所代替

3.2 数理逻辑方法·原因与结果

“原因”和”结果”是一对哲学范畴, 它反映事物之间的相互联系和相互制约. 当我们把事物从普遍联系中抽象出来, 就会看到有序的、不断更替的运动, 一种现象会引起另一种现象. 前者为原因, 后者为结果, 这种因果观念是人们一切自觉活动必不可少的逻辑条件
数学的表示一个命题, 要用谓词和八个逻辑常量, 即∀, Ǝ, V, Λ, =, ¬(非), →(蕴涵), ⇔(if and only if). 我们用⇒表示”推出”, 谓词S(a)、P(b)即a是S, b是P

3.3 几何方法·时间与空间

时间与空间是运动着的物质的基本属性和存在形式, 从数学范畴研究时间范畴和空间范畴, 便构成了各种几何学
几何方法, 说到底是为了描写、表示、反映现实时空, 为各种时空观提供数学模型

3.4 微积分方法·运动和静止

“运动”是标志事物、现象变化和过程的哲学范畴, “静止”则是特殊的运动状态. 从数学角度观察运动过程, 分析它的数量方面, 就会得出变量和常量的观念, 以及对剧烈变化和相对稳定等进行数学处理的方法. 函数是描写运动的有力工具.
运动和静止的研究还和稳定性问题联系在一起

3.5 概率方法·偶然和必然

“偶然”和”必然”是反映事物间必然联系和偶然联系的一对范畴, 是对因果范畴的进一步深化. 数学中的概率论就是从数量上研究必然性和偶然性的学科. 它从所考察的偶然性因素和影响中寻找必然的、本质的、数量的规律, 并对这些偶然性影响进行数量的刻画和分析
必然性和偶然性现象, 在数学上称为确定性现象和随机性现象, 相应就有确定性数学和随机性数学之分.
确定性数学正在随机化, 随机微分方程, 随机积分方程, 随机算子理论, 随机幂级数, 随机整函数, 以至随机微分几何也诞生了

3.6 模糊数学方法·同一与差异

哲学上把”对立”与”同一”当作一对范畴. 从数学上看, 更重要的是研究”差异”与”同一”. 正与负, 微分与积分, 加与减都是对立物, 是从数量上刻画”对立”规律的学问. 如果从更广的意义上理解, “对立”是从”差异”开始的, 当差异发生到极点时, 就会产生对立. 所以事物间的同一与差异也许是更为普遍的研究课题
康托(G.Cantor)集合论 -> 模糊集合 -> 模糊数学
康托集合语言可以廓清”白马非马”的诡辩

3.7 分析方法·局部与整体

“整体”和”局部”也是一对哲学范畴, 全局由各个局部组成, 但并非各个局部的简单总和, 它高于局部. 局部是整体的一部分, 但有时局部会影响整体, 甚至起主要的决定性作用
微积分学提供了分析局部的手段. 可以理解”芝诺悖论”
数学上的局部是指一点的领域

3.8 计算方法·量,质,度

任何事物都有”质”和”量”两方面, 是”质”和”量”的统一体, 作为”质”和”量”统一的”度”, 就是保持事物本”质”的量的限度、幅度和范围
数学是关于”量”的科学, 但也要反映”质”. 因为当量变发展到质变时, 量往往发生跳跃. 从函数图像上看就是跳跃和间断, 或者发生转折
(R.Thom)创立的突变理论, 可参考

3.9 控制论方法·可能与现实

客观事物处于普遍联系中, 系统科学正是对它的描述. 一个系统的存在1是现实的, 但人们关心的是预示各种发展前途的可能性. 发挥人的主观能动性, 使得某种可能性转变为人们想要实现的现实, 这便是研究”可能”与”现实”这一对哲学范畴的意义
数学上研究系统是否可能控制以及如何控制的学科, 称为控制论. 控制理论为现实系统的描述、分析综合和设计、预测和决策等问题提供了成套的理论和方法
控制论不是直接研究现实世界的受控对象, 而是研究受控对象的数学模型. 在控制论中, 能观性和能控性是两个基本概念. 一个系统是能控的, 是指输入信号u(t)能对系统的每一状态变量施加独立的影响, 使之能从任意的初态x0出发, 经有限时间后总能到达预先期望的任意值. 一个系统能观是指输出信号受每个状态变量的独立影响, 使之能从观测一段时间的输出值来唯一确定状态变量在某一时刻的值

3.10 数学模型方法·实践与认识

“实践”和”认识”, 是认知论中的哲学范畴. “认识”是主体对客体的能动反映, 而”实践”则是认识的基础, 它对认识起着决定的作用
数学模型方法正是基于实践之上的一种数学认识, 人们用以认识世界和改造世界

4. 数学中使用的一般科学方法

数学中的观察与实验
数学方法不等于逻辑方法·数学直觉
设定数学猜想的一般方法·归纳与类比
数学证明方法
曼宁(Manin): “一个证明只有当它通过’被接纳为证明’这项社会时,它才算被证明”
数学证明有助于核实真理, 数学证明最重要的价值是增进理解, 只有弄懂了一个定理的证明, 才能真正该定理的内容
数学证明方法的一般方法·化归与逻辑