数学方法二

1. 构建数学知识的常用数学方法

1.1 数学表示方法

1.2 等价变换方法

• 自反性(Reflactive): 对任何a ϵ A, 必有aRa(R条件)
• 对称性(Symmetry): 对任何a ϵ A, b ϵ A, 若有aRb, 必有bRa(S条件)
• 传递性(Transitive): 设a、b、c均在A中, 若有aRb,bRc, 则必有aRc(T条件)

1.3 公理化方法和结构主义

公理系的三性:

• 独立性, 即各条公理相互独立, 不能由一条推出另外一条
• 无矛盾性, 即各条公理之间没有矛盾, 从一条公理推出的结果不能与另一条矛盾
• 完备性, 即通过它能推出该学科已有的全部重要命题, 不能随便省略公理 公理化的近代发展是”结构主义”. 例如代数结构, 群、环、域、线性空间等都是可以用满足一定公理来定义的代数结构; 还有序结构, 包括半序和全序
  半序集E: 若E的元素之间定义了一个关系”≤”, 它具有以下性质:
• 自反性: 若xϵE, 则x≤x
• 反对称性: 若x,yϵE, x≤y且y≤x, 则x=y
• 传递性: 若x,y,zϵE, x≤y且y≤z, 则x≤z
  则称E为半序集

全序是在半序基础上加上:

可比性条件: 任何一对元素a、b, 在a≤b或b≤a中至少有一个成立

复数可以按照字典建立全序关系, 但是不能定义复数的大小, 因为按照大小关系和代数运算协调性要求, 必须有”加法保序”和”乘正数保序”的原则, 故复数只能有全序而不能有大小
布尔巴基学派: 数学学科是按代数结构、序结构和拓扑结构的不同的不同, 以及它们的各种组合而加以区别的

1.4 同构方法

一般来说, 若X和Y是两个代数结构, 其间存在一个对一个的满射 f:X→Y, 且f能保持运算, 则称f是同构映射, X与Y同构. 设X中的运算是”·”, Y中的运算是”*“, 保持运算的意思是: f(a·b)=f(a)*f(b)

1.5 不变量与不变性质

2. 数学应用中的常用数学方法

2.1 概率统计方法

• 概率统计是研究随机性现象的数学. 随机现象指: 在条件相同的情况下, 做重复试验, 试验结果却不确定, 以至于在试验之前无法预料是哪一个结果出现. 我们把这时的试验结果称为”随机事件”
• 数据的集中趋势与离中程度
• 统计方法用数据说话

2.2 函数分析方法

2.3 优化决策方法

2.4 近似方法与计算机方法

小学的科普文章里就有吴文俊的故事, 当时只知道他获得了国家最高科学技术奖, 一般书中还会说到袁隆平的故事、、、今天才了解了吴文俊所做数学工作的一小部分, 就是几何定理的机器证明方法

3. 形式化原则

1. 数学的形式化
2. 中学数学里的半形式化系统
3. 数学概念的形式化
4. 数学问题的各种不同形式之间的转换
5. 运用形式化原则指导数学解题教学

4. 简单性原理

1. 简单性原理的含义
2. 中学数学内容由简到繁的发展
3. 用简单性原理指导解题

5. 等价变换原则

1. 等价变换原则的含义
2. 中学数学中的等价变换
3. 用等价变换原则指导解题

6. 映射反演原则

1. 映射反演原则的含义
2. 中学数学中的映射类型
3. 用映射反演原则指导解题

7. 逐次逼近渐进原则

1. 逐次逼近渐进原则的含义
2. 中学数学解题中的逐次逼近渐进思想

8. 系统化原理

1. 从发生的角度看数学方法的系统化原理
2. 从联系与区别的角度看数学方法的系统化原理
3. 从发展的角度看数学方法的系统化原理
4. 从运用的角度看数学方法的系统化原理